Đồ thị hàm gamma và các cách diễn tả mở rộng khác của giai thừa Trong toán học , giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên . Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa" , ký hiệu n ! {\displaystyle n!} là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.
n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n {\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \dots \times n}
Ví dụ: 7 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040 {\displaystyle 7!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7=5040}
5 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 {\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120}
Đặc biệt, với n = 0 {\displaystyle n=0} , người ta quy ước 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} , đúng theo quy ước của một tích rỗng .[1] Ký hiệu n ! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808 . Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp , vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm n {\displaystyle n} đối tượng nào đó.
Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp ) n! như sau
0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 0!=1!=1} ( n + 1 ) ! = n ! × ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)!=n!\times (n+1)} với n > 0 {\displaystyle n>0} Một số tính chất của giai thừa [ sửa | sửa mã nguồn ] Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng ( a b c {\displaystyle a^{b^{c}}} ) có cùng cơ số và mũ. log a ( n ! ) = ∑ x = 1 n log a ( x ) . {\displaystyle \log _{a}{(n!)}=\sum _{x=1}^{n}\log _{a}(x).} ∫ 1 n log x d x ≤ ∑ x = 1 n log x ≤ ∫ 0 n log ( x + 1 ) d x {\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx} n log ( n e ) + 1 ≤ log n ! ≤ ( n + 1 ) log ( n + 1 e ) + 1. {\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.} e ( n e ) n ≤ n ! ≤ e ( n + 1 e ) n + 1 . {\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.} n ! ≈ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} (Công thức Stirling ). n ! > 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} n ! ≈ 2 π ( n + 1 3 ) 1 3 ( n + 1 3 e ) ( n + 1 3 ) ( ∀ n ∈ R , n ≥ − 1 3 ) {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi \left(n+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {n+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(n+{\frac {1}{3}}\right)}\qquad \left(\forall n\in \mathbb {R} ,n\geq -{\frac {1}{3}}\right)} Đây là dạng nâng cao của công thức Stirling , cũng là ước lượng với độ chính xác cao nhất (sai số lớn nhất < 4 % {\displaystyle <4\%} , khi n càng lớn thì sai số càng nhỏ). ln ( n ! ) ≈ n ln ( n ) − n + ln ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + ln ( π ) 2 . {\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}.} Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan .
Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa [ sửa | sửa mã nguồn ] C n k = n ! k ! ( n − k ) ! ( 0 < k ≤ n ) {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}(0<k\leq n)} A n k = n ! ( n − k ) ! ( 0 < k ≤ n ) {\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}(0<k\leq n)} Mở rộng cho tập số rộng hơn [ sửa | sửa mã nguồn ] Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.
Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?
Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp , Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t} Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.} Khi đó ta có:
z ! = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Gamma (z+1).\,} Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:
Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) {\displaystyle \Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}} Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}} Thay z = 1/2 ta thu được:
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}} Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:
Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.} Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Giai thừa với số thực. Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:
z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) . {\displaystyle z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.} Như vậy:
( − 0 , 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) . {\displaystyle (-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.} ( n − 0 , 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ) . {\displaystyle (n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.} ( − n − 0 , 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ) . {\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.} Ví dụ:
Γ ( 4.5 ) = 3.5 ! = Π ( 3.5 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 105 16 π ≈ 11.63. {\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.} Γ ( − 2.5 ) = ( − 3.5 ) ! = Π ( − 3.5 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.9453. {\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.} Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức. Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:
Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1 , {\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,} với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:
n {\displaystyle n} g n {\displaystyle g_{n}} Xấp xỉ 0 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 − γ {\displaystyle -\gamma } − 0.5772156649 {\displaystyle -0.5772156649} 2 π 2 12 + γ 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}} 0.9890559955 {\displaystyle 0.9890559955} 3 − ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 {\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}} − 0.9074790760 {\displaystyle -0.9074790760}
Ở đây γ {\displaystyle \gamma } là hằng số Euler - Mascheroni còn ζ {\displaystyle \zeta } là hàm zeta Riemann .
.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nâng cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm với đó.
Cụ thể:
z ! = Γ ( z + 1 ) ≈ g ( z ) = { 1 1 + π arctan ( 3 2 z ) 100 z 2 π ( z + 1 3 ) 1 3 ( z + 1 3 e ) ( z + 1 3 ) , ∀ z ∈ C , ℜ ( z ) > 0. π z sin ( π z ) . g ( − z ) , otherwise {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\approx g(z)={\begin{cases}{\frac {1}{1+{\frac {{\sqrt {\pi }}\arctan \left({\frac {3}{2}}z\right)}{100z}}}}{\sqrt {2\pi \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {z+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(z+{\frac {1}{3}}\right)},&\forall z\in \mathbb {C} ,\Re (z)>0.\\{\frac {\pi z}{\sin(\pi z).g(-z)}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
Giai thừa nguyên tố (primorial ) [ sửa | sửa mã nguồn ] Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n #) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n . Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial . Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:
2 , 6 , 30 , 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS ).Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:
Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2 .
n ! ! = { 1 , khi n <= 1 ; n ( n − 2 ) ! ! khi n ≥ 2. {\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.} Ví dụ:
8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n!! 1 1 2 3 8 15 48 105 384 945 3840
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:
( n − 2 ) ! ! = n ! ! n {\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}} Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n = -1, -3, -5, -7,...là
1, -1, 1/3, -1/15... Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! {\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,} ( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}} Cũng nên phân biệt n !! với (n !)!.
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n !!!),bội bốn (n!!!! )....
Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n !(k ) , được định nghĩa đệ quy như sau
n ! ( k ) = { 1 , khi 0 ≤ n < k ; n ( n − k ) ! ( k ) , khi n ≥ k . {\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{khi }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.} Siêu giai thừa(superfactorial ) [ sửa | sửa mã nguồn ] Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995 ) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,} Tổng quát
s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.} Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là
1, 1, 2, 12 , 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS ) Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):
1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,... và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là
m f ( n , m ) = m f ( n − 1 , m ) m f ( n , m − 1 ) = ∏ k = 1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) {\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}} trong đó m f ( n , 0 ) = n {\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n} for n > 0 {\displaystyle n>0} and m f ( 0 , m ) = 1 {\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1} .
x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! {\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}