Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ cấp (tiếng Anh: order) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:

• cấp của một nhóm G chính là số phần tử của G;^[1]
• cấp của phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn ${\displaystyle a^{m}=e}$, trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm G, ${\displaystyle a^{m}}$ là tích (với phép toán trang bị cho nhóm G) của m phần tử a.

Ký hiệu cấp của nhóm G là ord(G) hoặc |G|; cấp của phần tử a được ký hiệu là ord(a) hoặc |a|.

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì Z có vô số phần tử).

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng ${\displaystyle S_{3}}$:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Nhóm ${\displaystyle S_{3}}$ có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

${\displaystyle ord(S_{3})=6}$;

Cấp của các phần tử trong nhóm ${\displaystyle S_{3}}$:

• phần tử đơn vị e có cấp bằng 1;
• các phần tử s, t, w bình phương lên bằng e: ${\displaystyle s^{2}=t^{2}=w^{2}=e}$, nên chúng có cấp bằng 2;
• các phần tử u và v có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau: ${\displaystyle u^{2}=v}$ nên ${\displaystyle u^{3}=uv=e}$, tương tự cho v..

Cấp và cấu trúc của nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm G bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử a bằng 1: ${\displaystyle a^{1}=e}$ thì a chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử a (khác phần tử đơn vị) của nhóm G đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó (${\displaystyle a^{2}=e}$) thì chúng đều có cấp bằng 2: ${\displaystyle ord(a)=2}$ và nhóm G là nhóm Abel, vì:

${\displaystyle ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=b(ba)^{2}a=bea=ba}$.

Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo ${\displaystyle Z_{6}}$ là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3: ${\displaystyle 2+2+2=0{\pmod {6}}}$.

Một phần tử ${\displaystyle a}$ có cấp bằng ${\displaystyle 2}$ cũng được gọi là một phần tử lũy đẳng.

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

nếu ta lấy nhóm xyclic sinh bởi phần tử g, ký hiệu là ${\displaystyle \langle g\rangle }$:

${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{m}|m\in \mathbb {Z} \}}$,

thì cấp của nhóm ${\displaystyle \langle g\rangle }$ chính bằng cấp của phần tử g:

${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle g\rangle )=\operatorname {ord} (g)}$.

Định lý Lagrange[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Lagrange: Nếu H là nhóm con của G, và G có hữu hạn phần tử, thì H cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của G:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} (G)}{\operatorname {ord} (H)}}}$ là số tự nhiên và bằng bản số của nhóm thương (G:H)^[2].

Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của G chia hết cho cấp của mọi phần từ a thuộc G. Như đã xét trong ví dụ về nhóm ${\displaystyle S_{3}}$, ord(${\displaystyle S_{3}}$)=6 chia hết cho 2 là cấp của s,t,w và 3 là cấp của u,v.

Các tính chất của cấp của phần tử[sửa | sửa mã nguồn]

Phần tử a và nghịch đảo của nó ${\displaystyle a^{-1}}$ có cùng cấp:

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (a^{-1})}$.

Nếu số nguyên k thỏa mãn: ${\displaystyle a^{k}=e}$ thì cấp của a là ước của k. Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu a có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của a cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử ${\displaystyle a^{k}}$ được tính như sau:

${\displaystyle \operatorname {ord} (a^{k})={\frac {\operatorname {ord} (a)}{UCLN(\operatorname {ord} (a),k)}}}$ (ký hiệu UCLN(a,b) là ước số chung lớn nhất của a và b).

Ví dụ:

• Trong nhóm cộng các số nguyên modulo 5 ${\displaystyle Z_{5}}$, a=2 có cấp bằng 5 (vì ${\displaystyle (2+2+2+2+2)\equiv 0{\pmod {5}}}$), nếu lấy k=2 thì ${\displaystyle a^{k}=2^{2}=4}$ sẽ có cấp bằng 2:

${\displaystyle \operatorname {ord} (2^{2})={\frac {\operatorname {ord} (2)}{UCLN(\operatorname {ord} (2),2)}}={\frac {4}{2}}=2}$.

Định lý Cauchy (định lý Côsi)[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Cauchy: phát biểu rằng:

Cho nhóm G hữu hạn. Nếu cấp của G chia hết cho p, và p là số nguyên tố, thì tồn tại ít nhất một phần tử a thuộc G có cấp bằng p.

Đồng cấu nhóm và cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho 2 nhóm G và H, nếu f: G → H là một đồng cấu, a là một phần tử thuộc G, cấp của a là hữu hạn. Khi đó ${\displaystyle \operatorname {ord} (f(a))}$ là ước của ${\displaystyle \operatorname {ord} (a)}$.

Ví dụ:

• Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm h: S₃ → Z₅, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z₅ đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S₃.

Bản số của nhóm con chuẩn tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]