ĐỊNH LÝ ND : là quỹ tích của những điểm mà khoảng cách từ nó đến một điểm cho trước gấp 2 lần khoảng cách từ nó đến đường thẳng cố định .

- Hay ND là quỹ tích của những điểm mà khoảng cách từ nó đến 1 điểm cho trước và đường thẳng cố định luôn có b=2a (b là khoảng cách những điểm thuộc ND đến một điểm cho trước, a là khoảng cách những điểm thuộc ND đến đường thẳng cố định) (hình 1)

- Giải thích định lý ND : Vẽ góc 180 độ AOB . Đặt các góc lớn hơn 0 độ và bằng 180 độ có chung dây cung AB , đỉnh các góc nằm trên đường thẳng YY' vuông góc với dây cung AB tại O . HÌNH 2  

Giả sử cung và dây cung các góc đã được chia ra 3 phần bằng  nhau . 
- Góc 180 độ AOB có cung AB dược chia 3 tại M và N . Dây cung AB được chia 3 tại E và D 
 Ta có AM = MN = NB 

- Tứ giác AMNB là hình thang cân vì có 2 cạnh bên AM = MB . Có 2 góc MAB và góc NBA cùng kề cạnh đáy bằng nhau vì cùng chắn 2/3 cung AB. Vậy YY' vuông góc với AB tại O thì cũng phải vuông góc với MN tại K . Tam giác MON là tam giác cân ( OM=ON=R). OK là Đường cao của tam giác ABC và cũng là dường trung tuyến suy ra MK=NK=1/2NB. Vậy ta có điểm N Cách điểm B 1 khoảng cách gấp 2 lần khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng YY'(hình 3)

-Góc AO'B có cung AB được chia 3 tại M' và N' (giả sử ở trên)

Chứng minh tương tự như trên ta có điểm N' cách điểm B 1 khoảng cách gấp 2 lần khoảng cách từ điểm N' đến đường thẳng YY' (hình 4)

-Các cung đã được chia 3 ( giả sử ở trên ) của các góc có chung dây cung AB theo như chứng minh ở trên , những điểm chia 3 cung của các góc luôn cách điểm B (điểm cho trước ) 1 khoảng cách gấp 2 lần khoảng cách từ nó đến đường thẳng YY' ( YY'là đường thẳng cố định )

- Khi đỉnh các góc càng xa điểm O về phía Y' thì các góc ấy càng nhỏ , khoảng cách giữa cung của các góc ấy với dây cung AB càng nhỏ , điểm chia 3 cung của các góc tiến đến điểm chia 3 của dây cung AB .(hình 5)
- Nối các điểm chia các cung ra 3 phần bằng nhau (giả sử ở trên ) của các góc có chung dây cung AB _ Ta có đường ND và được phát biểu như định lí trên .
-Đối xứng với đường ND qua YY' là đường ME

- Đường ND được tạo ra bởi các điểm chia cung ra 3 phần bằng nhau của các góc có chung 1 dây cung . vậy ta phát biểu đảo lại như sau :
-Đường ND cắt các cung của các góc có chung 1 dây cung tại điểm chia 3 . Đây chính là tính chất của đường ND . 
- Vị trí đường ND nằm trong khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song với YY' đi qua 2 điểm N và D .Hình 6
- CÁCH VẼ ĐƯỜNG ND THEO ĐỊNH LÝ : b=2a (phạm vi những góc lớn hơn 0 độ và bằng 180 độ )
- Vẽ góc 180 độ AOB . kẻ YY' vuông góc với dây cung AB tại O . chia 3 dây cung AB tại E và D (theo định lý Ta Lét, các đoạn thẳng tỉ lệ ) . Ta xác định được điểm D . Từ điểm B quay cung có R = OB cắt cung AB tại N _ ta xác định được điểm N 
- Trong khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song  với YY' đi qua D và N ta kẻ đường thẳng song song với YY' cắt OB tại F (OF chính là khoảng cách a ) từ điểm B quay cung có R bằng 2 OF (2OF chính là khoảng cách b) cắt đường đi qua F song song với YY' ta có điểm thuộc đường ND (ND có thể đói xứng qua OB)
- Tương tự như trên xác định nhiều điểm thuộc ND rồi nối chúng lại ta được đường ND . HÌNH 7

- chia 3 một góc bất kì bằng thước kẻ thẳng và compa (SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG ND )
- góc bất kì Ao'B , kẻ YY' đi qua O' vuông góc với dây cung AD tại O , chia 3 dây cung ab tại E và D (theo định lý Ta Lét , các đoạn thảng tỉ lệ) ta xác định được điểm D , vẽ góc 180 độ có cùng dây cung AB . Từ B quay cung có R=OB cắt cung AB của góc AOB ta xác định được điểm N . tiếp tục vẽ đường ND (theo như cách vẽ trên). Đường ND phải cắt cung AB của góc AO'B tại điểm chia 3 ( theo tính chất của đường ND ) HÌNH 8

-Những góc lớn hơn 180 độ có chung 1 dây cung AB như ở trên , đỉnh các góc vẫn năm trên yy'nhưng dời xa o về phía y . vậy ta phải chia 2 trước khi chia 3 .
  Hình này được vẽ bởi tôi, người truyền hình lên, 
  và tự nguyện trao cho cộng đồng dưới giấy phép GFDL .