Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các nhóm đồng luân của hình cầu là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu ${\displaystyle n}$ chiều và ${\displaystyle k}$ chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu ${\displaystyle n}$ chiều.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Nhóm đồng luân bậc ${\displaystyle j}$ của hình cầu ${\displaystyle n}$ chiều ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, là tập hợp, ký hiệu ${\displaystyle \pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=[\mathbb {S} ^{j}\to \mathbb {S} ^{n}]}$, các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu ${\displaystyle \mathbb {S} ^{j}}$ được gửi tới một điểm cố định của hình cầu ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp ${\displaystyle \pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})}$ có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu ${\displaystyle j<n}$, nhóm này là nhóm tầm thường: ${\displaystyle \pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=\{0\}}$.

Nếu ${\displaystyle j=n}$, ta có ${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} }$ (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

1 chiều: các nhóm đồng luân của đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có:

• ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z} }$;
• ${\displaystyle \pi _{q}(\mathbb {S} ^{1})=0\quad }$với${\displaystyle \quad q\geq 2}$.

2 chiều và 3 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3})=0}$

Với mọi ${\displaystyle n}$ lớn hơn hoặc bằng 3, ta có: ${\displaystyle \pi _{2}(\mathbb {S} ^{n})=0}$, nói riêng:

${\displaystyle \pi _{2}(\mathbb {S} ^{3})=0}$

Với mọi ${\displaystyle n}$, ta có: ${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} }$, nói riêng:

${\displaystyle \pi _{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} }$,

${\displaystyle \pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} }$.

Thành thớ Hopf

${\displaystyle F=S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}=B\,\!}$

cho ta một dãy khớp đồng luân,

${\displaystyle \pi _{i}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{3})\to \pi _{i}(S^{2})\to \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i-1}(S^{3})\,\cdots }$

Từ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z} }$ và với ${\displaystyle i\geq 2}$, ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {S} ^{1})=0}$ ta có một đẳng cấu

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {S} ^{3})\simeq \pi _{i}(\mathbb {S} ^{2})}$ với ${\displaystyle i\geq 3}$,

nói riêng

${\displaystyle \pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} }$

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

• ${\displaystyle \pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)}$
• ${\displaystyle \pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)}$
• ${\displaystyle \pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)}$

Các nhóm đồng luân của ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ và ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$

${\displaystyle k}$	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})}$	Z	Z2		Z12	Z2		Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6	Z30		Z2×Z6	Z22×Z12		Z22×Z132

Chiều cao hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng[sửa | sửa mã nguồn]

Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được.

Ổn định khi số chiều lớn[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng đồng luân của ${\displaystyle \pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})}$ dễ nhìn hơn:

Với số chiều đủ lớn, ta có

• ${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1}$ (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên)
• ${\displaystyle \pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3}$ (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên)
• ${\displaystyle \pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2}$ (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là ${\displaystyle \Gamma _{k}=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})}$ không phụ thuộc vào ${\displaystyle n}$ với ${\displaystyle n}$ đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

• Các đồng cấu suspension ${\displaystyle S:\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})\to \pi _{n+k+1}(\mathbb {S} ^{n+1})}$ là một đẳng cấu với ${\displaystyle n\geq k+2}$
• và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với ${\displaystyle n=k+1}$.

Danh sách các nhóm đồng luân ổn định[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhóm ổn định đầu tiên ${\displaystyle \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n}),\quad n\geq k+2}$ là như sau:

• ${\displaystyle \Gamma _{-j}=\pi _{n-j}(\mathbb {S} ^{n})=0,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{0}=\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}=\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3}$
• ${\displaystyle \Gamma _{2}=\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}=\pi _{n+3}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(24),\quad n\geq 5}$
• ${\displaystyle \Gamma _{4}=\pi _{n+4}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 6}$
• ${\displaystyle \Gamma _{5}=\pi _{n+5}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 7}$
• ${\displaystyle \Gamma _{6}=\pi _{n+6}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 5}$
• ${\displaystyle \Gamma _{7}=\pi _{n+7}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(240),\quad n\geq 9}$
• ${\displaystyle \Gamma _{8}=\pi _{n+8}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 10}$

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ ${\displaystyle k=0}$.

Nhóm đồng luân ổn định ${\displaystyle \ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})}$ với ${\displaystyle k}$ nhỏ hơn 23

${\displaystyle k}$	0	1	2	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22	Z23	Z6	Z504	0	Z3	Z22	Z480⊕Z2	Z22	Z24	Z8⊕Z2	Z264⊕Z2	Z24	Z22	Z22

Từ ${\displaystyle k=23}$, ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ trở nên phức tạp, ví dụ:

${\displaystyle \Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{65520}\oplus \mathbb {Z} _{24}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{16}\oplus \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{9}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}\oplus \mathbb {Z} _{7}\oplus \mathbb {Z} _{13}}$

Nhóm đồng luân ổn định ${\displaystyle \ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})}$ với ${\displaystyle k}$ nhỏ hơn 60

${\displaystyle k}$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z	Z2	Z2	Z24=Z8⊕Z3	0	0	Z2	Z240 =Z16⊕Z3⊕Z5
${\displaystyle k}$	8	9	10	11	12	13	14	15
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z22	Z23	Z6=Z2⊕Z3	Z504 =Z8⊕Z9⊕Z7	0	Z3	Z22	Z480⊕Z2 =Z32⊕Z2⊕Z3⊕Z5
${\displaystyle k}$	16	17	18	19	20	21	22	23
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z22	Z24	Z8⊕Z2	Z264⊕Z2 =Z8⊕Z2⊕Z3⊕Z11	Z24	Z22	Z22	Z16⊕Z8⊕Z2 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
${\displaystyle k}$	24	25	26	27	28	29	30	31
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z22	Z22	Z22⊕Z3	Z24=Z8⊕Z3	Z2	Z3	Z6=Z2⊕Z3	Z64⊕Z22⊕Z3 ⊕Z5⊕Z17
${\displaystyle k}$	32	33	34	35	36	37	38	39
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z24	Z25	Z4⊕Z23	Z8⊕Z22⊕Z27 ⊕Z7⊕Z19	Z6=Z2⊕Z3	Z22⊕Z3	Z2⊕Z60= Z2⊕Z4⊕Z3⊕Z5	Z16⊕Z25⊕Z32⊕Z25⊕Z11
${\displaystyle k}$	40	41	42	43	44	45	46	47
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z25⊕Z4⊕Z3	Z25	Z8⊕Z22⊕Z3	Z552 =Z8⊕Z3⊕Z23	Z8	Z16⊕Z23 ⊕Z9⊕Z5	Z24⊕Z3	Z32⊕Z4⊕Z23 ⊕Z9⊕Z3 ⊕Z5⊕Z7⊕Z13
${\displaystyle k}$	48	49	50	51	52	53	54	55
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z24⊕Z4	Z22⊕Z3	Z3⊕Z23	Z8⊕Z4⊕Z22⊕Z3	Z23⊕Z3	Z24	Z4⊕Z2	Z16⊕Z32⊕Z5⊕Z29
${\displaystyle k}$	56	57	58	59	60	61	62	63
${\displaystyle \Gamma _{k}}$	Z22	Z24	Z22	Z8⊕Z22⊕Z9 ⊕Z7⊕Z11⊕Z31	Z4

Các nhóm đồng luân không ổn định[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nhóm đồng luân không ổn định:

• Với chiều 2 và 3 (${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})}$):
  • ${\displaystyle \pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} }$
  • ${\displaystyle \pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /(2)}$
  • ${\displaystyle \pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)}$
• Với chiều 4: ${\displaystyle \pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})=\mathbb {Z} /(12)\oplus \mathbb {Z} }$

Nhóm đồng luân vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhóm đồng luân ổn định ${\displaystyle \pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})}$ là hữu hạn ngoại trừ ${\displaystyle k=0}$ ((${\displaystyle \Gamma _{0}=\mathbb {Z} }$).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm ${\displaystyle \pi _{4p-1}(\mathbb {S} ^{2p})}$ (với p > 0). Những nhóm này ${\displaystyle \pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})}$, ${\displaystyle \pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})}$, ${\displaystyle \pi _{11}(\mathbb {S} ^{6})}$,...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ và một nhóm hữu hạn.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, tomes 2 et 3
• Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique
• Fabien Morel, «Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques», trong Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 3, Cassini, 2007