Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel Trong lý thuyết tập hợp , lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel , được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu thế kỷ XX để xây dựng một lý thuyết tập hợp không còn các nghịch lý như nghịch lý Russell .
Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel thường được ký hiệu là ZF. Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng với tiên đề chọn được ký hiệu là ZFC.
Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó[1]
∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ x = y ] . {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].} Mọi tập không rỗng x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} rời nhau .
∀ x [ ∃ a ( a ∈ x ) ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ ¬ ∃ z ( z ∈ y ∧ z ∈ x ) ) ] . {\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].} [2] 3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm) [ sửa | sửa mã nguồn ] Ta có thể xây dựng một tập hợp y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} [3] ϕ {\displaystyle \phi }
∀ z ∃ y ∀ x [ x ∈ y ⇔ ( ( x ∈ z ) ∧ ϕ ( x ) ) ] . {\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi (x))].} Nếu x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
∀ x ∀ y ∃ z ( ( x ∈ z ) ∧ ( y ∈ z ) ) . {\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).} Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.[4]
∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇔ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Leftrightarrow x\in A].} Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự .[5]
∀ A ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w n [ ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ ! y ϕ ) ⇒ ∃ B ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ y ( y ∈ B ∧ ϕ ) ) ] . {\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.} Đặt S ( w ) {\displaystyle S(w)} w ∪ { w } {\displaystyle w\cup \{w\}} [5]
∃ X [ ∅ ∈ X ∧ ∀ y ( y ∈ X ⇒ S ( y ) ∈ X ) ] . {\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].} Tiên đề này cho phép xây dựng các số tự nhiên liên tiếp và tập hợp các số tự nhiên.
8. Tiên đề tập hợp các bộ phận [ sửa | sửa mã nguồn ] Tồn tại tập hợp các bộ phận, hay tập lũy thừa :[6]
∀ x ∃ y ∀ z [ z ⊆ x ⇒ z ∈ y ] . {\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].} ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 32 ^ Shoenfield (2001), tr. 239 ^ Hoàng Xuân SÍnh (1972), tr.33 ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 34 ^ a b Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 36 ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 35 Hoàng Xuân Sính , Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám) , 1972, Nhà xuất bản Giáo dụcShoenfield, Joseph R., Mathematical Logic (2nd ed.), 2001, A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2 . Wiki - Keonhacai copa chuyên cung cấp kiến thức thể thao,
keonhacai tỷ lệ kèo, bóng đá, khoa học, kiến thức hằng ngày được chúng tôi cập nhật mỗi ngày mà bạn có thể tìm kiếm tại đây có nguồn bài viết:
https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_Zermelo%E2%80%93Fraenkel ![{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7b175ec36a59df864706ac6cfa8976c10e71d0)
![{\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b6c90db2cd7d252b1db2f1fe02872154da6efa)
![{\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi (x))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0182ab01c8b890e5581c4b8807c27905c52dcb8f)
![{\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Leftrightarrow x\in A].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2fee17d427ebdef67dd4114fc754f6bfbcf548)
![{\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765365f0432fae05b7df6bfffd09a1112c9bc0df)
![{\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd396541416f002cb2d9c916604004b292815d41)
![{\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6acd98b5529aadefd8f2990b7b9c913d39f0ec)
.svg/)
