Trong đại số tuyến tính, một vectơ riêng hay vectơ đặc trưng (Tiếng Anh: eigenvector) của một biến đổi tuyến tính là một vectơ khác vectơ không mà được nhân với một hệ số vô hướng khi biến đổi tuyến tính đó được áp dụng lên nó. Hệ số vô hướng tương ứng, thường được ký hiệu là ${\displaystyle \lambda }$,^[1] được gọi là giá trị riêng (Tiếng Anh: eigenvalue).

Nói một cách hình học, một vectơ riêng tương ứng với một giá trị riêng thực khác 0 có cùng phương sau khi nó được kéo dài ra bởi phép biến đổi và giá trị riêng là hệ số nhân. Nếu giá trị riêng là âm thì vectơ sẽ đổi chiều.^[2] Một cách dễ hiểu, trong một không gian vectơ đa chiều, vectơ riêng không bị quay đi.

Định nghĩa chính tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thiết T là một biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ V trên trường F vào chính nó và v là một vectơ khác 0 trong V.

Vậy thì v là một vectơ riêng của T khi ảnh của nó qua phép biến đổi T(v) bằng một vô hướng nhân với v. Tức là:

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

trong đó λ là một vô hướng trong F, gọi là giá trị riêng, giá trị đặc trưng, hay nghiệm đặc trưng tương ứng với v.

Có sự tương ứng trực tiếp giữa các ma trận vuông cấp n và các biến đổi tuyến tính tự đồng cấu từ một không gian vectơ n chiều vào chính nó, trên cơ sở bất kỳ của không gian vectơ. Vì vậy trong một không gian vectơ hữu hạn chiều, việc định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng sử dụng ngôn ngữ của ma trận và ngôn ngữ biến đổi tuyến tính là tương đương.^[3][4]

Nếu V là hữu hạn chiều, phương trình trên là tương đương với^[5]

${\displaystyle A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .}$

trong đó A là ma trận vuông biểu diễn cho tự đồng cấu T và u là vectơ tọa độ của v.

Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]

Vectơ riêng và giá trị riêng có vai trò nổi bật trong việc phân tích các biến đổi tuyến tính. Trong tiếng Anh, giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng được gọi là eigenvalue và eigenvector (/ˈaɪɡənˌvɛktər/). Tiền tố eigen- được mượn từ tiếng Đức eigen (cùng gốc với từ tiếng Anh own), nghĩa là "sở hữu", "đặc trưng".^[6][7] Ban đầu được sử dụng để nghiên cứu các trục chính của sự quay của các vật rắn, giá trị riêng và vectơ riêng ngày càng có nhiều ứng dụng, ví dụ: trong phân tích ổn định, phân tích rung động, lý thuyết orbital nguyên tử, nghiên cứu băng hà trong địa chất, hệ số lây nhiễm cơ bản, và công nghệ nhận diện khuôn mặt.

Về bản chất, một vectơ riêng v của một biến đổi tuyến tính T là một vectơ khác vectơ không sao cho nó vẫn giữ được hướng ban đầu khi T tác động lên. Tác động của T lên vectơ riêng chỉ làm kéo dài vectơ riêng, được gấp một giá trị vô hướng λ, gọi là giá trị riêng. Điều kiện này có thể được viết dưới dạng phương trình

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

được gọi là phương trình đặc trưng. Tổng quát, λ có thể là một vô hướng bất kỳ. Chẳng hạn, λ có thể là âm, trong trường hợp này vectơ riêng sẽ đảo chiều khi nó được kéo dài, hoặc giá trị riêng có thể bằng 0 hoặc là số phức.

Ví dụ bức vẽ Mona Lisa sau đây là một minh họa đơn giản. Mỗi điểm của hình vẽ có thể được biểu diễn bằng một vectơ từ trung tâm của hình đến điểm đó. Biến đổi tuyến tính trong ví dụ này được gọi là phép ánh xạ trượt. Các điểm ở nửa trên bức vẽ bị dịch sang phải, còn các điểm ở nửa dưới bị dịch sang trái, tỉ lệ thuận với khoảng cách của chúng so với trục hoành ở giữa bức vẽ. Các vectơ tương ứng với mỗi điểm trong bức vẽ ban đầu vì vậy bị trượt sang bên trái hoặc phải, và bị làm cho ngắn vào hoặc dài ra bởi phép biến đổi. Ta cũng có thấy rằng những điểm nằm dọc theo trục hoành không bị di chuyển đi khi phép biến đổi tác động. Vì vậy, mỗi vectơ chỉ trực tiếp sang trái hoặc phải mà không có thành phần thẳng đứng là một vectơ riêng của phép biến đổi này, vì phép biến đổi không ảnh hưởng tới hướng của nó. Hơn nữa, trong ví dụ này các vectơ riêng trên đều có giá trị riêng bằng 1, vì vậy phép biến đổi cũng không làm độ dài của chúng thay đổi.

Các biến đổi tuyến tính có thể có nhiều dạng, chúng ánh xạ các vectơ trong nhiều loại không gian vectơ, vì thế vectơ riêng cũng có thể có nhiều dạng. Ví dụ, biến đổi tuyến tính có thể là một toán tử vi phân như ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$, trong trường hợp này các vectơ riêng là các hàm được gọi là hàm riêng được nhân thêm bởi toán tử vi phân đó, chẳng hạn

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$

Ngoài ra, biến đổi tuyến tính có thể có dạng một ma trận n × n, trong trường hợp này các vectơ là các ma trận cột n × 1. Nếu biến đổi tuyến tính được biểu diễn dưới dạng ma trận A cỡ n × n thì phương trình giá trị riêng ở trên có thể được viết lại dưới dạng phép nhân ma trận

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

trong đó vectơ riêng v là một ma trận cột n × 1. Đối với ma trận, các vectơ riêng và giá trị riêng có thể được sử dụng vào việc phân rã ma trận—ví dụ bằng cách chéo hóa nó.

Giá trị riêng và vectơ riêng làm phát sinh nhiều khái niệm toán học có liên quan chặt chẽ, và chữ riêng hay tiền tố eigen- dùng để đặt tên chúng:

• Tập hợp các vectơ riêng của một biến đổi tuyến tính, mỗi vectơ được ghép cặp với giá trị riêng tương ứng, được gọi là hệ riêng của biến đổi đó.^[8][9]
• Tập hợp tất cả vectơ riêng của biến đổi T tương ứng với cùng một giá trị riêng, cùng với vectơ không, được gọi là một không gian con riêng, hay không gian con đặc trưng tương ứng với giá trị riêng đó của T.^[10]
• Nếu một tập hợp các vectơ riêng của T tạo thành một cơ sở của không gian miền xác định của T thì cơ sở này được gọi là một cơ sở riêng của T.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Trong các giáo trình, giá trị riêng thường được giới thiệu trong ngữ cảnh đại số tuyến tính hay lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, về mặt lịch sử, khái niệm này phát sinh từ nghiên cứu các dạng toàn phương và phương trình vi phân.

Vào thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã nghiên cứu về chuyển động quay của một vật rắn và khám phá ra vai trò của các trục chính.^[a] Joseph-Louis Lagrange nhận ra rằng các trục chính là các vectơ riêng của ma trận quán tính.^[11]

Vào đầu thế kỷ thứ 19, Augustin-Louis Cauchy đã thấy cách mà các công trình của họ có thể được sử dụng vào việc phân loại các mặt bậc hai, và đã tổng quát hóa nó cho trường hợp số chiều tùy ý.^[12] Cauchy cũng là người đặt ra thuật ngữ racine caractéristique (nghiệm đặc trưng) cho cái ngày nay được gọi là eigenvalue (giá trị riêng); thuật ngữ của ông gắn với phương trình đặc trưng.^[b]

Sau đó, Joseph Fourier ứng dụng các công trình của Lagrange và Pierre-Simon Laplace vào việc giải phương trình nhiệt bằng phép tách biến số trong cuốn Théorie analytique de la chaleur xuất bản năm 1822.^[13] Charles-François Sturm đã phát triển thêm các ý tưởng của Fourier, và đã thu hút được sự quan tâm của Cauchy, người đã kết hợp chúng với các ý tưởng của riêng ông và đã đi đến kết quả rằng các ma trận đối xứng thực có các giá trị riêng thực.^[12] Kết quả này được mở rộng hơn bởi Charles Hermite vào năm 1855 đối với cái mà ngày nay gọi là ma trận Hermite.^[14]

Khoảng cùng thời gian đó, Francesco Brioschi đã chứng minh được các giá trị riêng của ma trận trực giao nằm trên đường tròn đơn vị,^[12] và Alfred Clebsch đã tìm ra kết quả tương ứng cho ma trận đối xứng chéo.^[14] Cuối cùng, Karl Weierstrass đã làm rõ một khía cạnh quan trọng trong lý thuyết ổn định khởi xướng bởi Laplace, bằng cách nhận ra rằng các ma trận khiếm khuyết (defective) có thể gây ra sự mất ổn định.^[12]

Cũng trong cùng thời gian này, Joseph Liouville đã nghiên cứu các vấn đề về giá trị riêng tương tự các vấn đề của Sturm; phân ngành được phát sinh từ công trình của họ ngày nay được gọi là lý thuyết Sturm–Liouville.^[15] Schwarz đã nghiên cứu giá trị riêng đầu tiên của phương trình Laplace trên các miền tổng quát, đến hồi cuối thế kỷ 19, trong khi đó Poincaré nghiên cứu phương trình Poisson sau đó vài năm.^[16]

Vào đầu thế kỷ 20, David Hilbert đã nghiên cứu các giá trị riêng của các toán tử tích phân bằng cách coi các toán tử là các ma trận vô hạn.^[17] Ông là người đầu tiên sử dụng từ tiếng Đức eigen, có nghĩa là "sở hữu",^[7] để chỉ các vectơ riêng và giá trị riêng vào năm 1904,^[c] mặc dù ông có thể đã dựa theo một cách dùng từ liên quan bởi Hermann von Helmholtz. Một thời gian thuật ngữ tiêu chuẩn để chỉ giá trị riêng trong tiếng Anh là "proper value", nhưng ngày nay thuật ngữ dễ nhận biết hơn "eigenvalue" là từ tiêu chuẩn.^[18]

Thuật toán tính số đầu tiên cho việc tính toán các giá trị riêng và vectơ riêng ra đời vào năm 1929, khi Richard von Mises xuất bản phương pháp lặp lũy thừa. Một trong những phương pháp phổ biến nhất hiện nay, thuật toán QR, được đề xuất một cách độc lập bởi John G. F. Francis^[19] và V. Kublanovskaya^[20] năm 1961.^[21][22]

Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Giá trị riêng và vectơ riêng thường được giới thiệu đến sinh viên khi học về các khóa đại số tuyến tính tập trung vào các ma trận.^[23][24] Hơn nữa, các biến đổi tuyến tính trên một không gian vectơ hữu hạn chiều có thể được biểu diễn nhờ sử dụng các ma trận,^[25][4] điều này đặc biệt phổ biến trong các ứng dụng tính toán số.^[26]

Để bắt đầu, ta xét các vectơ n chiều gồm bộ n phần tử có thứ tự, ví dụ các vectơ ba chiều sau

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad y={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$

Các vectơ này được gọi là các bội vô hướng của nhau, hay song song hoặc cùng phương, nếu tồn tại một vô hướng λ sao cho

${\displaystyle x=\lambda y.}$

Trong trường hợp này ${\displaystyle \lambda =-1/20}$.

Bây giờ xét biến đổi tuyến tính trên các vectơ n chiều được xác định bởi một ma trận A cỡ n × n,

${\displaystyle Av=w,}$

hay

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$

trong đó đối với mỗi hàng ta có,

${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}}$.

Nếu v và w là các bội vô hướng của nhau, tức là nếu

${\displaystyle Av=w=\lambda v,}$

(1)

thì v là một vectơ riêng của biến đổi tuyến tính A và hệ số nhân λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng đó. Phương trình (1) là phương trình giá trị riêng cho ma trận A. Phương trình (1) có thể được nêu một cách tương đương dưới dạng

${\displaystyle (A-\lambda I)v=0,}$

(2)

trong đó I là ma trận đơn vị n × n và 0 là vectơ không.

Giá trị riêng và đa thức đặc trưng[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình (2) có nghiệm vectơ v khác 0 (gọi là nghiệm không tầm thường) khi và chỉ khi định thức của ma trận (A − λI) bằng 0. Vì vậy các giá trị riêng của A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình

${\displaystyle |A-\lambda I|=0}$

(3)

Sử dụng quy tắc Leibniz cho định thức, vế trái của Phương trình (3) là một hàm số đa thức với biến λ và bậc của đa thức này là n, bằng cấp của ma trận A. Các hệ số của đa thức này phụ thuộc vào các phần tử của ma trận A, ngoại trừ hệ số của bậc n luôn là (−1)ⁿλⁿ. Đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng của A. Còn Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc trưng của A. Từ định lý cơ bản của đại số ta suy ra rằng đa thức đặc trưng của một ma trận vuông A cấp n là một đa thức có bậc n, và có thể được phân tích thành tích của n nhân tử tuyến tính,

${\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),}$

(4)

trong đó mỗi λ_i có thể là số thực hoặc phức. Các số λ₁, λ₂, ... λ_n có thể không phân biệt, và là các nghiệm của đa thức và là giá trị riêng của A.

Lấy một ví dụ ngắn (sẽ được mô tả chi tiết ở mục ví dụ bên dưới), xét ma trận

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Lấy định thức của ma trận (A − λI), ta có đa thức đặc trưng của A là

${\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$

Cho đa thức đặc trưng bằng 0 để có phương trình, nó có hai nghiệm tại λ=1 và λ=3, là hai giá trị riêng của A. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng có thể tìm được bằng cách giải ra các thành phần của v trong phương trình ${\displaystyle (A-\lambda I)v=0}$ bằng cách chuyển về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Trong ví dụ này, mọi vectơ riêng là bội vô hướng khác 0 bất kỳ của hai vectơ riêng

${\displaystyle v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$

Nếu các phần tử của ma trận A đều là các số thực thì các hệ số của đa thức đặc trưng cũng là các số thực, nhưng các giá trị riêng có thể vẫn có phần ảo khác 0. Các tọa độ của các vectơ riêng tương ứng cũng có thể có phần ảo khác 0. Tương tự, các giá trị riêng có thể là các số vô tỉ ngay cả khi các phần tử của A đều là các số hữu tỉ, hay thậm chí nếu tất cả chúng đều là số nguyên. Tuy nhiên nếu các phần tử của ma trận A đều là các số đại số (bao gồm cả các số hữu tỉ), các giá trị riêng sẽ là các số phức đại số.

Các nghiệm phức của một đa thức thực với các hệ số thực có thể được nhóm thành cặp các liên hợp phức, tức là hai số của mỗi cặp chỉ có dấu khác nhau ở phần ảo còn phần thực thì giống nhau. Nếu bậc đa thức là lẻ thì theo định lý giá trị trung gian, ít nhất một nghiệm là thực. Vì thế, một ma trận thực vuông với số cấp lẻ có ít nhất một giá trị riêng thực, trong khi một ma trận thực vuông với số kích thước chẵn có thể không có bất kỳ một giá trị riêng thực nào. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phức này cũng là phức và cũng theo từng cặp liên hợp phức.

Việc tính toán bằng số định thức và đa thức đặc trưng trong thực tế là một vấn đề hoàn toàn khác với các lý thuyết nói ở trên. Tính toán ngày càng khó khăn với các ma trận có kích thước càng lớn, chưa kể các lỗi làm tròn không thể tránh khỏi. Kể từ ma trận cỡ bằng 5 trở lên, đa thức đặc trưng là bậc 5 hoặc cao hơn và do đó theo định lý Abel–Ruffini, không có công thức đại số tường minh cho các nghiệm giá trị riêng cho các ma trận này. Vì thế, người ta đưa ra các phương pháp tính xấp xỉ số để tính toán giá trị riêng và vectơ riêng. Thuật toán tính giá trị riêng bằng số sớm nhất là phép lặp lũy thừa, sau đó các thuật toán chính xác và hiệu quả hơn đã ra đời, chẳng hạn thuật toán QR vào năm 1961.^[27] Đối với các ma trận Hermite thưa, thuật toán Lanczos là một ví dụ về một phương pháp lặp hiệu quả để tính giá trị riêng và vectơ riêng, và còn được sử dụng trong nhiều mục đích có thể khác.^[27]

Số bội đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Cho λ_i là một giá trị riêng của ma trận A cỡ n × n. Số bội đại số μ_A(λ_i) của một giá trị riêng λ_i là số bội của nghiệm λ_i của đa thức đặc trưng, tức là số nguyên dương lớn nhất k sao cho đa thức đó chia hết cho (λ − λ_i)^k.^[10][28][29]

Giả sử ma trận vuông A có kích thước n và có d ≤ n các giá trị riêng phân biệt. Ở Phương trình (4) đa thức đặc trưng của A được phân tích thành tích của n thừa số tuyến tính với một vài thừa số có thể lặp lại, nhưng thay vào đó ta có thể viết đa thức đặc trưng thành tích của d thừa số, mỗi thừa số chỉ tương ứng với một giá trị riêng riêng biệt và được lũy thừa lên bậc bằng số lần lặp, chính là số bội đại số.

${\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$

Nếu d = n thì ở vế phải là tích của n thừa số tuyến tính tương tự Phương trình (4). Số bội đại số của mỗi giá trị riêng liên hệ với kích thước của ma trận n như sau.

${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$

Nếu μ_A(λ_i) = 1, thì λ_i được gọi là giá trị riêng đơn.^[29] Nếu μ_A(λ_i) bằng số bội hình học của λ_i , γ_A(λ_i), được định nghĩa ở mục sau, thì λ_i được gọi là giá trị riêng nửa đơn.

Không gian con riêng, số bội hình học và cơ sở riêng của ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một giá trị riêng cụ thể λ của một ma trận A cỡ n × n. Định nghĩa E là tập hợp tất cả vectơ v thỏa mãn Phương trình (2),

${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :(A-\lambda I)\mathbf {v} =0\right\}.}$

Mặt khác, tập hợp này chính là hạt nhân của ma trận (A − λI). Lại có, theo định nghĩa, bất kỳ một vectơ khác vectơ không nào thỏa mãn điều kiện này là một vectơ riêng của A tương ứng với λ. Vì thế, tập hợp E là hợp của vectơ không với tập hợp tất cả vectơ riêng của A tương ứng với λ, và E bằng tập hợp hạt nhân của (A − λI). E được gọi là không gian con riêng hay không gian con đặc trưng của A tương ứng với giá trị riêng λ.^[30][10] Tổng quát, λ là một số phức và các vectơ riêng là các ma trận cột n × 1 phức. Một tính chất của hạt nhân là nó cũng là một không gian con tuyến tính, nên E là một không gian con của ℂⁿ.

Bởi không gian con riêng E là một không gian con tuyến tính, nó là đóng đối với phép cộng. Tức là, nếu hai vectơ u và v thuộc tập E, được viết là u, v ∈ E, thì vectơ tổng (u + v) ∈ E, hay tương đương là A(u + v) = λ(u + v): với cùng λ, tổng của hai vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng tính phân phối của phép nhân ma trận. Tương tự, vì E là không gian con tuyến tính nên nó đóng đối với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu v ∈ E và α là một số phức, ta có (αv) ∈ E hay tương đương là A(αv) = λ(αv): mỗi vectơ song song với một vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách chú ý rằng phép nhân vô hướng của các số phức với ma trận phức có tính giao hoán. Vậy tóm lại nếu các vectơ u + v và αv khác vectơ không thì chúng cũng là các vectơ riêng của A tương ứng với λ.

Số chiều của không gian con riêng E ứng với giá trị riêng λ, hay số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa ứng với λ, được gọi là số bội hình học γ_A(λ) của giá trị riêng đó. Bởi E còn là hạt nhân của (A − λI), số bội hình học của λ cũng là số chiều của hạt nhân, hay còn gọi là số vô hiệu của ma trận (A − λI), được liên hệ với kích thước và hạng của (A − λI) bởi

${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$

Bởi theo định nghĩa của giá trị riêng và vectơ riêng, số bội hình học của một giá trị riêng phải ít nhất bằng 1, tức là ứng với mỗi giá trị riêng có ít nhất một vectơ riêng. Hơn nữa, số bội hình học của một vectơ riêng không thể vượt quá số bội đại số của nó. Ngoài ra, nhớ lại rằng số bội đại số của một giá trị riêng không thể vượt quá n:

${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}$

Để chứng minh bất đẳng thức ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$, trước tiên thấy rằng từ định nghĩa số bội hình học suy ra được sự tồn tại của ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ các vectơ riêng trực chuẩn ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}}$ sao cho ${\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}}$. Vì thế ta có thể tìm được một ma trận (unita) ${\displaystyle V}$ với ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ cột đầu tiên là các vectơ riêng này, và các cột còn lại là một tập hợp trực chuẩn gồm ${\displaystyle n-\gamma _{A}(\lambda )}$ vectơ và chúng trực giao với các vectơ riêng của ${\displaystyle A}$. Vì vậy ${\displaystyle V}$ có hạng đầy đủ tức là nó khả nghịch, và ${\displaystyle AV=VD}$ với ${\displaystyle D}$ là ma trận mà khối ở phía trên bên trái là ma trận đường chéo ${\displaystyle \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}}$. Từ đẳng thức này ta có ${\displaystyle (A-\xi I)V=V(D-\xi I)}$. Nói cách khác, ${\displaystyle A-\xi I}$ đồng dạng với ${\displaystyle D-\xi I}$, suy ra rằng ${\displaystyle \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)}$. Nhưng từ định nghĩa của ${\displaystyle D}$ ta biết rằng ${\displaystyle \det(D-\xi I)}$ có một nhân tử ${\displaystyle (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}}$,có nghĩa là số bội đại số của ${\displaystyle \lambda }$ phải thỏa mãn ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )}$.

Giả sử ${\displaystyle A}$ có ${\displaystyle d\leq n}$ các giá trị riêng phân biệt ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{d}}$, trong đó số bội hình học của ${\displaystyle \lambda _{i}}$ là ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$. Ta có số bội hình học tổng cộng của ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}}$

là số chiều của tổng của các không gian riêng của tất cả các giá trị riêng của ${\displaystyle A}$, hay tương đương là số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa của ${\displaystyle A}$. Nếu ${\displaystyle \gamma _{A}=n}$ thì

• Tổng trực tiếp của các không gian riêng của tất cả giá trị riêng ${\displaystyle A}$ là toàn bộ không gian vectơ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• Một cơ sở của ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ có thể được tạo ra từ ${\displaystyle n}$ vectơ riêng độc lập tuyến tính của ${\displaystyle A}$; một cơ sở như vậy được gọi là cơ sở riêng
• Mọi vectơ trong ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng của ${\displaystyle A}$.

Các tính chất bổ sung của giá trị riêng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho ${\displaystyle A}$ là ma trận vuông số phức ${\displaystyle n\times n}$ với các trị riêng ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$. Mỗi trị riêng dưới đây có thể lặp lại tới ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$ lần, trong đó ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$ là số bội đại số. Sau đây là các tính chất của ma trận và các giá trị riêng của nó:

• Vết của ${\displaystyle A}$, được định nghĩa là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó, cũng chính là tổng của các giá trị riêng

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$^[31][32][33]

• Định thức của ${\displaystyle A}$ chính là tích của các giá trị riêng,

  ${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$^[31][34][35]

• Các giá trị riêng của lũy thừa bậc ${\displaystyle k}$ của ${\displaystyle A}$; tức là các giá trị riêng của ${\displaystyle A^{k}}$ với số nguyên dương bất kỳ ${\displaystyle k}$, là ${\displaystyle \lambda _{1}^{k},...,\lambda _{n}^{k}}$.
• Ma trận ${\displaystyle A}$ khả nghịch khi và chỉ khi mỗi giá trị riêng của nó đều khác 0.
• Nếu ${\displaystyle A}$ khả nghịch thì các giá trị riêng của ${\displaystyle A^{-1}}$ là ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},...,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ và số bội hình học của mỗi giá trị riêng đều bằng nhau. Hơn nữa, các giá trị riêng cũng có cùng số bội đại số.
• Nếu ${\displaystyle A}$ bằng ma trận chuyển vị liên hợp phức ${\displaystyle A^{*}}$, hay nếu ${\displaystyle A}$ là ma trận Hermite, thì mọi giá trị riêng đều là thực. Điều này cũng đúng với các ma trận đối xứng thực bất kỳ.
• Nếu ${\displaystyle A}$ không chỉ là ma trận Hermite mà còn là xác định dương, hay nửa xác định dương, xác định âm, hoặc nửa xác định âm thì mỗi giá trị riêng cũng tương ứng là đều dương, đều không âm, đều âm, hoặc đều không dương.
• Nếu ${\displaystyle A}$ là ma trận unita thì mỗi giá trị riêng có giá trị tuyệt đối ${\displaystyle |\lambda _{i}|=1}$.
• Nếu ${\displaystyle A}$ là một ma trận ${\displaystyle n\times n}$ và ${\displaystyle \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\}}$ là các giá trị riêng của nó thì các giá trị riêng của ma trận ${\displaystyle I+A}$ (trong đó ${\displaystyle I}$ là ma trận đơn vị) là ${\displaystyle \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}}$. Hơn nữa nếu có số ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, các giá trị riêng của ma trận ${\displaystyle \alpha I+A}$ là ${\displaystyle \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}}$. Tổng quát hơn nữa, với một hàm đa thức với biến ma trận ${\displaystyle P}$ ta có các giá trị riêng của ma trận ${\displaystyle P(A)}$ là ${\displaystyle \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}}$. Vậy ${\displaystyle A}$ là nghiệm của đa thức đặc trưng biến ma trận của chính nó.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh định thức ${\displaystyle |A-aI|}$. Đó là ta tìm đa thức đặc trưng ${\displaystyle P({\lambda })=|A-{\lambda }I|}$ của ma trận ${\displaystyle A}$. Sau đó, tính giá trị của ${\displaystyle P(a)}$

Đặc trưng biến thiên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong trường hợp ma trận Hermite, các giá trị riêng có thể được cho với một đặc trưng biến thiên. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận Hermite ${\displaystyle H}$ là giá trị lớn nhất của dạng toàn phương ${\displaystyle x^{\textsf {T}}Hx/x^{\textsf {T}}x}$. Một vectơ ${\displaystyle x}$ sao cho dạng toàn phương đạt giá trị lớn nhất đó, là một vectơ riêng.

Vectơ riêng trái và phải[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều lĩnh vực nghiên cứu biểu diễn các vectơ dưới dạng ma trận chỉ với một cột đơn hơn là ma trận với một hàng đơn. Vì lý do đó, từ "vectơ riêng" của một ma trận hầu như luôn đề cập đến vectơ riêng phải tức là một vectơ cột được nhân vào phía bên phải của một ma trận ${\displaystyle A}$ cỡ ${\displaystyle n\times n}$ trong phương trình định nghĩa (1),

${\displaystyle Av=\lambda v.}$

Tuy vậy, vấn đề vectơ riêng và giá trị riêng cũng có thể được định nghĩa cho các vectơ hàng được nhân trái với ma trận ${\displaystyle A}$. Theo đó phương trình định nghĩa là

${\displaystyle uA=\kappa u,}$

trong đó ${\displaystyle \kappa }$ là một vô hướng và ${\displaystyle u}$ là ma trận hàng ${\displaystyle 1\times n}$. Một vectơ hàng ${\displaystyle u}$ thỏa mãn phương trình này được gọi là một vectơ riêng trái của ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle \kappa }$ là giá trị riêng tương ứng. Lấy chuyển vị của phương trình này ta có

${\displaystyle A^{\textsf {T}}u^{\textsf {T}}=\kappa u^{\textsf {T}}.}$

So sánh với Phương trình (1), ta thấy ngay rằng một vectơ riêng trái của ${\displaystyle A}$ chính là chuyển vị của một vectơ riêng phải của ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$, với cùng giá trị riêng. Hơn nữa, vì đa thức đặc trưng của ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$cũng bằng đa thức đặc trưng của ${\displaystyle A}$, giá trị riêng của các vectơ riêng trái của ${\displaystyle A}$ cũng bằng giá trị riêng của các vectơ riêng phải của ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$.

Phân tích riêng và chéo hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử các vectơ riêng của A tạo thành một cơ sở, hay tương đương là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v₁, v₂, ..., v_n tương ứng với các giá trị riêng λ₁, λ₂, ..., λ_n (không nhất thiết phân biệt). Định nghĩa một ma trận vuông Q có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A,

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}.}$

Vì mỗi cột của Q là một vectơ riêng của A, nhân phải Q với A chính là nhân mỗi cột của Q với các giá trị riêng tương ứng,

${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}v_{1}&\lambda _{2}v_{2}&\cdots &\lambda _{n}v_{n}\end{bmatrix}}.}$

Định nghĩa một ma trận chéo Λ với các phần tử đường chéo Λ_ii là các giá trị riêng tương ứng với cột thứ i của Q. Vậy thì

${\displaystyle AQ=Q\Lambda .}$

Vì mỗi cột của Q độc lập tuyến tính nên Q khả nghịch. Nhân phải mỗi vế của phương trình với Q⁻¹,

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}$

hoặc nhân trái mỗi vế với Q⁻¹, ta có

${\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}$

Vì vậy A có thể được phân tích thành tích của một ma trận với các cột là các vectơ riêng, một ma trận chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo, và nghịch đảo của ma trận với vectơ riêng. Đây được gọi là phân tích riêng của ma trận và nó là một biến đổi đồng dạng. Một ma trận A như vậy được gọi là đồng dạng với ma trận chéo Λ hay chéo hóa được. Ma trận Q chính là ma trận chuyển cơ sở của phép biến đổi đồng dạng. Về cơ bản, hai ma trận A và Λ thể hiện cùng một biến đổi tuyến tính khi biểu diễn trong hai cơ sở khác nhau, trong đó các vectơ riêng được chọn làm cơ sở khi biểu diễn phép biến đổi dưới dạng ma trận Λ.

Bây giờ, giả sử ma trận A chéo hóa được. Cho P là một ma trận vuông không suy biến sao cho P⁻¹AP là một ma trận đường chéo D. Nhân trái hai vế với P, ta được AP = PD. Mỗi cột của P vì thế phải là một vectơ riêng của A với giá trị riêng tương ứng là phần tử trên đường chéo của D. Vì các cột của P phải độc lập tuyến tính để P khả nghịch nên tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Vì vậy, suy ra các vectơ riêng của A tạo thành cơ sở khi và chỉ khi A là chéo hóa được.

Một ma trận không chéo hóa được thì được gọi là khiếm khuyết. Đối với các ma trận khiếm khuyết, ta có sự tổng quát hóa của các vectơ riêng trở thành các vectơ riêng tổng quát và ma trận chéo trở thành dạng chuẩn tắc Jordan. Trên một trường đại số đóng, một ma trận bất kỳ A luôn có dạng chuẩn tắc Jordan.

Đẳng thức giá trị riêng-vectơ riêng[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với một ma trận Hermite, có thể tính bình phương của chuẩn của thành phần thứ j của một vectơ riêng đã chuẩn hóa, chỉ sử dụng các giá trị riêng của ma trận và các giá trị riêng của ma trận con tương ứng:

${\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},}$

trong đó ${\textstyle M_{j}}$ là ma trận con được tạo ra bằng cách bỏ đi các hàng và cột thứ j từ ma trận ban đầu.^[36][37][38]

Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng của một biến đổi tuyến tính T vẫn có thể áp dụng với trường hợp không gian vectơ là một không gian Hilbert hay không gian Banach vô hạn chiều. Một lớp các biến đổi tuyến tính trên không gian vô hạn chiều thường được sử dụng là các toán tử vi phân trên các không gian hàm. Cho D là một toán tử vi phân tuyến tính trên không gian các hàm khả vi vô hạn thực C^∞ với đối số thực t. Phương trình định nghĩa giá trị riêng cho D là một phương trình vi phân

${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$

Các hàm thỏa mãn phương trình này chính là các vectơ riêng của D và thường được gọi là hàm riêng.

Ví dụ toán tử đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Xét toán tử đạo hàm ${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$ với phương trình giá trị riêng

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$

Phương trình vi phân này có thể được giải ra bằng cách nhân cả hai vế với dt/f(t) rồi lấy tích phân. Nghiệm của nó là hàm mũ

${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$

là một hàm riêng của toán tử đạo hàm. Trong trường hợp này hàm riêng chính là hàm của giá trị riêng tương ứng với nó. Đặc biệt, với λ = 0 hàm riêng f(t) là một hàm hằng.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ ma trận vuông cấp 2[sửa | sửa mã nguồn]

Xét ma trận

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Hình ảnh bên phải cho thấy tác động của phép biến đổi này lên các điểm tọa độ trong mặt phẳng. Các vectơ riêng v của phép biến đổi này thỏa mãn Phương trình (1), và các giá trị của λ sao cho định thức của ma trận (A − λI) bằng 0 là các giá trị riêng.

Lấy định thức để tìm đa thức đặc trưng của A,

${\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}.\end{aligned}}}$

Đặt cho phương trình đặc trưng bằng 0 và giải phương trình, nó có các nghiệm tại λ = 1 và λ = 3, cũng chính là hai giá trị riêng của ma trận A.

Với λ=1, từ Phương trình (2) ta có,

${\displaystyle (A-I)v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$; ${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$

Mọi vectơ khác vectơ không với v₁ = −v₂ sẽ thỏa mãn phương trình này. Vì vậy,

${\displaystyle v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$

là một vectơ riêng của A tương ứng với λ = 1, các bội vô hướng của vectơ này cũng vậy.

Với λ=3, Phương trình (2) trở thành

${\displaystyle (A-3I)v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle -1v_{1}+1v_{2}=0}$; ${\displaystyle 1v_{1}-1v_{2}=0}$

Mọi vectơ khác không với v₁ = v₂ thỏa mãn phương trình trên. Vì vậy,

${\displaystyle v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

và các bội vô hướng của nó là các vectơ riêng của A, ứng với λ = 3.

Vậy các vectơ v_λ=1 và v_λ=3 là các vectơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng λ=1 và λ=3.

Từ hình trên ta có thể thấy mỗi vectơ riêng không lệch khỏi span của nó.

Công thức tổng quát cho giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2[sửa | sửa mã nguồn]

Giá trị riêng của một ma trận thực ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ là^[d]

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(a+d)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}(a-d)\right)^{2}+bc}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-4\det(A)}}\right).}$

Một cách biểu diễn khác là: ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\det(A)}}.}$

Chú ý các giá trị riêng luôn dương nếu b và c cùng dấu, do số hạng bên dưới dấu căn phải dương.

Ma trận vuông cấp 3[sửa | sửa mã nguồn]

Xét ma trận

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$

Đa thức đặc trưng của A là

${\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$

Các nghiệm của đa thức đặc trưng là 2, 1, và 11, cũng là ba giá trị riêng duy nhất của A. Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$ và ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$, và bất kỳ các bội khác 0 của chúng.

Ma trận vuông cấp 3 với giá trị riêng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Xét ma trận hoán vị cyclic sau

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$

Ma trận này dịch chuyển mỗi tọa độ thứ hai và thứ ba của vectơ lên vị trí liền trước đó và chuyển tọa độ thứ nhất xuống vị trí cuối cùng.

Đa thức đặc trưng của nó là 1 − λ³, với các nghiệm

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+\mathbf {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-\mathbf {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$

trong đó ${\displaystyle \mathbf {i} }$ là đơn vị ảo với ${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=-1.}$

Với giá trị riêng thực λ₁ = 1, mỗi vectơ với ba thành phần của nó đều bằng nhau và khác 0 là vectơ riêng. Ví dụ,

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$

Với cặp giá trị riêng liên hợp phức ta thấy,

${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$

Vậy

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$

và

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Vì vậy, hai vectơ riêng khác của A là phức, ${\displaystyle v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ và ${\displaystyle v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ tương ứng với giá trị riêng λ₂ và λ₃. Hai vectơ riêng phức cũng theo cặp liên hợp phức,

${\displaystyle v_{\lambda _{2}}=v_{\lambda _{3}}^{*}.}$

Ma trận khả nghịch[sửa | sửa mã nguồn]

Xét ma trận

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\1&3&1\\-3&1&-1\\\end{array}}\right]}$

Ta tìm cách biểu diễn ma trận nghịch đảo theo ${\displaystyle A}$

Đa thức đặc trưng của ma trận ${\displaystyle A}$ là

${\displaystyle P({\lambda })={\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}-4{\lambda }+12}$

có các giá trị riêng λ₁ = −2, λ₂ = 2, và λ₃ = 3. Mọi giá trị riêng đều khác 0, vì thế ${\displaystyle A}$ khả nghịch.

Theo tính chất ở trên ta có:

${\displaystyle P(A)=A^{3}-3A^{2}-4A+12I_{3}=0}$.

Do đó:

${\displaystyle -A^{3}+3A^{2}+4A=12I_{3}\Rightarrow A(-A^{2}+3A+4I_{3})=(-A^{2}+3A+4I_{3}).A=12I_{3}}$

Đặt ${\displaystyle B={\dfrac {1}{12}}(-A^{2}+3A+4I_{3})}$.

Ta có:

${\displaystyle A.B=B.A=I_{3}}$.

Do đó ${\displaystyle A}$ khả nghịch và

${\displaystyle A^{-1}=-A^{2}+3A+4I_{3}}$

Ma trận đường chéo[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận với chỉ với các phần tử nằm trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Các giá trị riêng của một ma trận chéo chính là các phần tử trên đường chéo chính. Xét ma trận

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$

Đa thức đặc trưng của A là

${\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$

nó có các nghiệm λ₁ = 1, λ₂ = 2, và λ₃ = 3. Các nghiệm này là các giá trị riêng, cũng là các phần tử trên đường chéo chính của A.

Mỗi phần tử trên đường chéo tương ứng với một vectơ riêng với thành phần khác 0 duy nhất ở cùng hàng với phần tử đó. Trong ví dụ này, các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau ${\displaystyle {\bigl (}c\neq 0{\bigr )}}$,

${\displaystyle v_{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}c,}$

Ma trận tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Một ma trận vuông mà các phần tử ở nửa trên của đường chéo chính đều bằng 0 thì được gọi là ma trận tam giác dưới, trong khi một ma trận với các phần tử ở nửa dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự các ma trận chéo, các giá trị riêng của ma trận tam giác chính là các phần tử của đường chéo chính.

Xét ma trận tam giác dưới sau,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$

Đa thức đặc trưng của A là

${\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$

có các nghiệm hay giá trị riêng là λ₁ = 1, λ₂ = 2, và λ₃ = 3, cũng là các phần tử đường chéo của A.

Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau (với c khác 0),

${\displaystyle v_{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}}c,\quad v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}c,}$

Ma trận với giá trị riêng lặp lại[sửa | sửa mã nguồn]

Tương tự ví dụ trước, ma trận tam giác dưới

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$

có đa thức đặc trưng là mà nghiệm là các phần tử trên đường chéo,

${\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$

Nghiệm của đa thức này, tức các giá trị riêng là 2 và 3. Số bội đại số của mỗi giá trị riêng này là 2; nói cách khác chúng đều là các nghiệm kép. Tổng số bội đại số của tất cả các giá trị riêng phân biệt là μ_A = 4 = n, luôn bằng bậc của đa thức đặc trưng hay số kích thước của ma trận A.

Mặt khác, số bội hình học của giá trị riêng 2 chỉ là 1, bởi không gian con riêng của nó được span bởi duy nhất một vectơ riêng ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ nên chỉ có số chiều bằng 1. Tương tự, số bội hình học của giá trị riêng 3 cũng là 1 bởi không gian con riêng của nó được span bởi chỉ một vectơ riêng ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$. Số bội hình học tổng cộng γ_A là 2, là giá trị số bội hình học nhỏ nhất có thể có của một ma trận với hai giá trị riêng khác nhau. Số bội hình học được định nghĩa tổng quát ở mục sau.

Định nghĩa tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng được mở rộng một cách tự nhiên cho các biến đổi tuyến tính trên các không gian vectơ tùy ý. Cho V là một không gian vectơ bất kỳ trên một trường vô hướng K, và cho T là một tự đồng cấu tuyến tính từ V vào chính nó,

${\displaystyle T:V\to V.}$

Ta gọi một vectơ v ∈ V khác vectơ không là một vectơ riêng của T khi và chỉ khi tồn tại vô hướng λ ∈ K sao cho

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} .}$

(5)

Phương trình này được gọi là phương trình (định nghĩa) giá trị riêng của T, và vô hướng λ được gọi là một giá trị riêng của T tương ứng với vectơ riêng v. T(v) là kết quả sau khi áp dụng biến đổi T lên vectơ v, còn λv là tích của vô hướng λ với vectơ v.^[39][40]

Không gian con riêng, số bội hình học và cơ sở riêng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một giá trị riêng λ, xét tập hợp

${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$

đây là tập hợp tất cả vectơ riêng ứng với λ hợp với vectơ không. E được gọi là không gian con riêng hay không gian đặc trưng của T tương ứng với giá trị riêng λ.

Bởi định nghĩa của một biến đổi tuyến tính ta có,

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

với mọi cặp (x,y) ∈ V và α ∈ K. Vì thế, nếu u và v là các vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ, tức là u,v ∈ E, thì

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$

Vì vậy, cả u + v và αv hoặc là vectơ không hoặc là vectơ riêng của T tương ứng với λ, tức là u + v, αv ∈ E, và E là đóng đối với phép cộng vectơ và nhân vô hướng. Không gian con riêng E tương ứng với λ vì thế là một không gian con của V.^[41] Nếu không gian con riêng đó có số chiều bằng 1, đôi khi nó được gọi là đường thẳng riêng.^[42]

Số bội hình học γ_T(λ) của một giá trị riêng λ là số chiều của không gian con riêng ứng với λ, tức là số tối đa các vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng đó.^[10][29] Bởi định nghĩa của giá trị riêng và vectơ riêng, ta có γ_T(λ) ≥ 1 vì mỗi giá trị riêng đều ứng với ít nhất một vectơ riêng.

Các không gian con riêng của T luôn tạo thành một tổng trực tiếp. Hệ quả là các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau luôn là độc lập tuyến tính. Vì thế, tổng các số chiều của các không gian con riêng không thể vượt quá số chiều n của không gian vectơ V, và không thể có nhiều hơn n giá trị riêng khác nhau.^[e]

Một không gian con bất kỳ được span bởi các vectơ riêng của T là một không gian con bất biến của T, sự thu hẹp của biến đổi T về không gian con đó là chéo hóa được. Hơn nữa, nếu các vectơ riêng của T có thể span toàn bộ không gian V, hay tương đương là V là tổng trực tiếp của các không gian con riêng tương ứng với mọi giá trị riêng của T, thì có thể lập một cơ sở của V từ các vectơ riêng độc lập tuyến tính của T được gọi là cơ sở riêng. Nếu T có một cơ sở riêng thì T được gọi là chéo hóa được.

Vectơ riêng là vectơ không[sửa | sửa mã nguồn]

Trong khi định nghĩa vectơ riêng sử dụng trong bài viết này loại trừ vectơ không, ta vẫn có thể định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng theo một cách mà vectơ không có thể là một vectơ riêng.^[43]

Ta lại xét Phương trình định nghĩa (5). Định nghĩa giá trị riêng là bất kỳ vô hướng λ ∈ K sao cho tồn tại một vectơ khác không v ∈ V thỏa mãn (5). Cần chú ý rằng định nghĩa giá trị riêng theo cách này phải yêu cầu vectơ khác vectơ không, nếu không thì bất kỳ vô hướng nào trong K cũng sẽ là giá trị riêng của vectơ không. Định nghĩa vectơ riêng v tương ứng với giá trị riêng λ là một vectơ bất kỳ thỏa mãn (5) với λ được cho trước. Cho trước một giá trị riêng, vectơ không cũng là một vectơ thỏa mãn Phương trình (5), nên nó cũng là một vectơ riêng theo định nghĩa này.

Lý thuyết phổ[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu λ là giá trị riêng của T, thì toán tử (T − λI) không là song ánh hay không tồn tại nghịch đảo (T − λI)⁻¹. Mệnh đề đảo là đúng đối với trường hợp không gian vectơ hữu hạn chiều nhưng không đúng với vô hạn chiều. Tổng quát, toán tử tuyến tính (T − λI) có thể vẫn có nghịch đảo ngay cả khi λ không phải là giá trị riêng.

Vì lý do này, trong giải tích hàm các giá trị riêng có thể được tổng quát hóa thành phổ của một toán tử tuyến tính T tức là tập hợp tất cả các vô hướng λ sao cho toán tử (T − λI) không có nghịch đảo bị chặn. Phổ của một toán tử chứa tất cả các giá trị riêng nhưng không chỉ giới hạn ở chúng.

Đại số kết hợp và lý thuyết biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể tổng quát hóa cấu trúc đại số tác động lên không gian vectơ, thay thế một toán tử tác động lên một không gian vectơ bằng một biểu diễn đại số – một đại số kết hợp tác động lên một mô đun. Nghiên cứu các tác động này là lĩnh vực của lý thuyết biểu diễn.

Khái niệm trọng số trong lý thuyết biểu diễn là một tương tự của khái niệm giá trị riêng, trong đó vectơ trọng số và không gian trọng số tương ứng là các tương tự của vectơ riêng và không gian con riêng.

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Giá trị riêng của các phép biến hình[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng dưới đây liệt kê các ví dụ về các phép biến đổi hình học trong mặt phẳng cùng các ma trận 2×2 của chúng và các giá trị riêng và vectơ riêng.

Giá trị riêng của các phép biến hình

	Phép tỉ lệ	Phép tỉ lệ không đều	Phép quay	Phép trượt ngang	Phép quay hyperbolic
Hình minh họa
Ma trận	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}}$
Đa thức đặc trưng	${\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}}$	${\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1}$	${\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1}$
Giá trị riêng, ${\displaystyle \lambda _{i}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}}$
Số bội đại số, ${\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$
Số bội hình học, ${\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \gamma _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$
Vectơ riêng	Mọi vectơ khác vectơ không	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Phương trình động lực[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình hiệu (công thức truy hồi) đơn giản nhất có dạng tuyến tính

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$ (a)

Các nghiệm của phương trình này là liên hệ tường minh của x theo t, có thể giải được từ phương trình đặc trưng

${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$

Để tìm phương trình đặc trưng, ta lập hệ k phương trình bao gồm phương trình thứ nhất là phương trình truy hồi (a) và k – 1 phương trình còn lại có dạng

${\displaystyle x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1}}$, đây là hệ bậc nhất k chiều với vectơ biến ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}\\x_{t-1}\\\vdots \\\vdots \\x_{t-k+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &\cdots &a_{k}\\1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{t-1}\\x_{t-2}\\\vdots \\\vdots \\x_{t-k}\end{bmatrix}}}$

Tìm đa thức đặc trưng của ma trận của hệ rồi giải ra được k nghiệm đặc trưng ${\displaystyle \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},}$ để thay vào liên hệ tường minh