Trong hình học , độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong , mặt cong hay không gian Riemann nói chung.
Độ cong của một đường cong [ sửa | sửa mã nguồn ] Theo Cauchy , tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} .
κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}} Gọi d s {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến . Ta có định nghĩa khác về độ cong:
κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}} Tính độ cong của một đường cong phẳng [ sửa | sửa mã nguồn ] Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa:
κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}} d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến , ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến . Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong.
tan ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y ′ x ′ {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}} Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} ta được:
d d t ( tan ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}} ⇔ d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = 1 1 + ( y ′ x ′ ) 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}
Kết hợp các kết quả thu được ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}} Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Xem thêm: Hệ tọa độ cực Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Đường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = 1 , x ″ = 0 , y ′ = a , y ″ = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 1 ⋅ 0 − a ⋅ 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0} hay công thức:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0} Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn { x = R cos t y = R sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = − R sin t , x ″ = − R cos t , y ′ = R cos t , y ″ = − R sin t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − R sin t ) ⋅ ( − R sin t ) − ( R cos t ) ⋅ ( − R cos t ) [ ( − R sin t ) 2 + ( R cos t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} hay công thức:
κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 ⋅ 0 2 − R ⋅ 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Đường parabol y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} sẽ có độ cong được tính như sau: d y d x = 2 a x , d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a} Áp dụng công thức ta có:
κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} Đường ellipse { x = a cos t y = b sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}} sẽ có độ cong được tính như sau: x ′ = − a sin t , x ″ = − a cos t , y ′ = b cos t , y ″ = − b sin t {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t} Áp dụng công thức ta có:
κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − a sin t ) ⋅ ( − b sin t ) − ( b cos t ) ⋅ ( − a cos t ) [ ( − a sin t ) 2 + ( b cos t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 − x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ a 2 − ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 − e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} với e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse.
Độ cong của một đường cong ghềnh [ sửa | sửa mã nguồn ] Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức
κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}} Độ cong của một không gian [ sửa | sửa mã nguồn ]
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds
Wiki - Keonhacai copa chuyên cung cấp kiến thức thể thao,
keonhacai tỷ lệ kèo, bóng đá, khoa học, kiến thức hằng ngày được chúng tôi cập nhật mỗi ngày mà bạn có thể tìm kiếm tại đây có nguồn bài viết:
https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%99_cong