Định lý Heine–Borel
Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:
Đối với một tập con A trong không gian Euclide , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:
Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:
- Một tập con của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn.
Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]
Giả sử compact. Vì là không gian Hausdorff nên đóng. Lấy một họ
các phủ mở của . Vì compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có sao cho . Nên, với hai điểm bất kỳ và của , ta có . Vậy bị chặn.
Ngược lại, nếu đóng và bị chặn, giả sử với mọi . Cố định một điểm của , đặt . Khi đó, với mọi thì
- .
Đặt , thì là tập con của , là tập compact. Vì đóng nên cũng compact.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
Wiki - Keonhacai copa chuyên cung cấp kiến thức thể thao, keonhacai tỷ lệ kèo, bóng đá, khoa học, kiến thức hằng ngày được chúng tôi cập nhật mỗi ngày mà bạn có thể tìm kiếm tại đây có nguồn bài viết: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Heine%E2%80%93Borel