Wiki - KEONHACAI COPA

Đẳng cấu nhóm

Trong đại số trừu tượng, đẳng cấu nhómhàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa hai nhóm, thì hai nhóm đó được gọi là đẳng cấu cùng nhau. Từ góc nhìn của lý thuyết nhóm, các nhóm đẳng cấu cùng nhau có chung tính chất và không cần phải phân biệt.

Định nghĩa và ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai nhóm một đẳng cấu nhóm từ tới là một đồng cấu nhóm có tính song ánh từ đến Nói rõ ra, đẳng cấu nhóm là một song ánh sao cho với mọi thuộc đẳng thức sau được thỏa mãn

Hai nhóm đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đẳng cấu giữa chúng. Khi đó ta thường ký hiệu là

Để gọn hơn, ta thường loại bỏ dấu ngoặc và phép toán của mỗi nhóm

Đôi khi, ta có thể viết là Song khi nào viết được như vậy mà không gây khó hiểu dựa vào bối cảnh bài viết. Lấy ví dụ, dấu bằng không nên dùng khi hai nhóm đều là nhóm con của một nhóm nào đó.

Ngược lại, khi cho nhóm và tập cùng với song ánh ta có thể tạo nhóm bằng cách định nghĩa

Nếu thì song ánh này trở thành tự đẳng cấu.

Theo trực giác, các nhà lý thuyết nhóm thường xem hai nhóm đẳng cấu với nhau như sau: với mọi phần tử thuộc nhóm tồn tại phần tử thuộc sao cho "hoạt động hệt như" (có nghĩa là có các phép toán giống hệt với ). Ví dụ chẳng hạn, nếu sinh thì phần tử cũng vậy với nhóm .

Đẳng cấu nhóm có thể định nghĩa tương đương là một đồng cấu nhóm khả nghịch (nghịch đảo của một đồng cấu nhóm song ánh cũng là đồng cấu nhóm]].

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nhóm của tất cả số thực dưới phép cộng, , đẳng cấu với nhóm số thực dương dưới phép nhân :
    qua đẳng cấu .
  • Nhóm của các số nguyên với phép cộng là nhóm con của . Nhóm thương đẳng cấu với nhóm của các số phứcgiá trị tuyệt đối bằng 1 (dưới phép nhân):
  • Nhóm tứ Klein đẳng cấu với tích trực tiếp của hai nhóm , hay được viết là Một ký hiệu khác là bởi nó là nhóm nhị diện.
  • Tổng quát lại, với mọi lẻ, đẳng cấu với tích trực tiếp của
  • Nếu nhóm cyclic vô hạn, thì đẳng cấu với nhóm các số nguyên cùng phép cộng. Từ góc nhìn đại số, điều này có nghĩa tập các số nguyên cùng phép cộng là nhóm cyclic vô hạn "duy nhất".

Một số cặp nhóm có thể được chứng minh đẳng cấu với nhau, dựa trên tiên đề chọn, Song bài chứng minh sẽ không chỉ ra cách xây một đẳng cấu cụ thể. Các ví dụ bao gồm:

  • Nhóm đẳng cấu với nhóm của các số phức dưới phép cộng.[1]
  • Nhóm của các số phức khác không với phép nhân đẳng cấu với nhóm kể trên trong ví dụ.

Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Nhân của đẳng cấu từ đến luôn là {eG}, trong đó eGphần tử trung hòa của nhóm

Nếu đẳng cấu với nhau, thì nhóm Abel khi và chỉ khi là nhóm Abel.

Nếu là đẳng cấu từ đến thì với bất kỳ , cấp của bằng với cấp của

Nếu đẳng cấu với nhau , thì nhóm hữu hạn địa phương khi và chỉ khi cũng hữu hạn địa phương.

Số các nhóm phân biệt (xê xích đẳng cấu) có cấp được cho bởi dãy số A000001 trong OEIS. Các giá trị đầu tiên là 0, 1, 1, 1 và 2 nghĩa là 4 là cấp nhỏ nhất có hai nhóm phân biệt.

Nhóm cyclic[sửa | sửa mã nguồn]

Tất cả các nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với trong đó ký hiệu phép cộng mô đun

Đặt là nhóm cyclic và là cấp của Gọi là phần tử sinh của , khi đó bằng với Ta sẽ chứng minh rằng

Định nghĩa

sao cho

Dễ thấy có tính song ánh và

từ đó chứng minh được

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Từ định nghĩa, ta sẽ chứng minh được sẽ ánh xạ phần tử trung hòa của sang phần tử trung hòa của

và nghịch đảo sang nghịch đảo

tổng quát hơn, từ lũy thừa bậc n sang lũy thừa bậc n,

và ánh xạ nghịch cũng là đồng cấu nhóm.

Quan hệ "đẳng cấu với" là quan hệ tương đương. Nếu là đẳng cấu nhóm giữa hai nhóm thì bất cứ cái gì đúng về cấu trúc của nhóm cũng đúng với cấu trúc của nhóm thông qua và ngược lại.

Tự đẳng cấu nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Một đẳng cấu nhóm sang chính nó được gọi là tự đẳng cấu của nhóm. Do vậy, nó là song ánh sao cho

Ảnh dưới tự đẳng cấu của lớp liên hợp luôn là lớp liên hợp.

Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là tự đẳng cấu, do đó với phép hợp là phép toán nhóm, tập các tự đẳng cấu của một nhóm lập thành nhóm các tự đẳng cấu của nhóm ký hiệu bởi , hay được gọi là nhóm tự đẳng cấu của

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Ash (1973). “A Consequence of the Axiom of Choice”. Journal of the Australian Mathematical Society. 19 (3): 306–308. doi:10.1017/S1446788700031505. Truy cập ngày 21 tháng 9 năm 2013.
Wiki - Keonhacai copa chuyên cung cấp kiến thức thể thao, keonhacai tỷ lệ kèo, bóng đá, khoa học, kiến thức hằng ngày được chúng tôi cập nhật mỗi ngày mà bạn có thể tìm kiếm tại đây có nguồn bài viết: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B3ng_c%E1%BA%A5u_nh%C3%B3m